Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций (правило прямоугольного треугольника)

Расположим отрезок общего положения таким образом, чтобы точка В находилась на плоскости проекций П (рис. 5.7). Прямоугольный треугольник образован так: один катет - проецирующий луч; второй - проекция отрезка на плоскость П - АцВ^. Гипотенузой будет отрезок [АВ]. Повернув на угол 90° треугольник АиВпА вокруг проекции АцВц и совместив его с плоскостью проекций, получим изображение прямоугольного треугольника на плоскости проекций П (рис. 5.7). Тогда правило прямоугольного треугольника можно сформулировать следующим образом: натуральная величина отрезка графически определяется как гипотенуза треугольника, у которого одним из катетов является проекция отрезка, а вторым - разность расстояний от точек отрезка до плоскости проекций. На рис. 5.7 эта разность будет равна расстоянию от точки А до плоскости проекций П (точка В расположена на плоскости проекций). Угол наклона отрезка к плоскости проекций прилежит к проекции отрезка.

Покажем плоскости проекций и еще раз рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 5.8). Как видно из рис. 5.8, разность расстояний от точек отрезка до плоскости проекций является разностью координат до этой плоскости проекций (в данном случае AZAB). Тогда

UBl2 = U]Bl I2.

Следует отметить, что угол наклона к горизонтальной плоскости проекций а не равен для отрезка общего положения углу 5 (рис. 5.8).

Рис. 5.7

Значит, для определения натуральной величины необходимо и достаточно двух проекций. Такое определение натуральной величины называется «правилом прямоугольного треугольника», которое формулируется следующим образом: натуральная величина отрезка определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет - проекция отрезка, а другой катет - разность координат до плоскости проекций, на которой строится треугольник, и угол наклона к этой плоскости проекций противолежит разности координат (рис. 5.9).

Рис. 5.8

Чтобы определить величины углов наклона а, Р и у (к плоскостям проекций горизонтальной, фронтальной и профильной соответственно), необходимо построить по указанному выше правилу прямоугольный треугольник на этой плоскости. Естественно, во всех случаях натуральная величина одного и того же отрезка на треугольниках, построенных на разных плоскостях, будет одинакова.

Пример 7

Задание: на рис. 5.10 показаны две проекции пространственной кривой. Определить ее длину.

Решение. Чтобы определить длину, спрямляем прямую, применяя правило прямоугольного треугольника.

Рис. 5.10

Пример 8

Задание: определить натуральную величину отрезка [АВ] (рис. 5.11, а) и углы наклона его к плоскостям проекций. Применить правило прямоугольного треугольника.

Рис. 5.11

Решение. Проводим линию, перпендикулярную к одной из проекций отрезка [АВ. Перпендикуляр восстанавливаем из проекции любой точки А или В (рис. 5.11,6).

Откладываем на перпендикуляре отрезок, равный разности расстояний от точек отрезка до соответствующей плоскости проекций, - по оси х до плоскости П3; по оси у до П2; или по z до П] - разности координат точек вдоль оси, перпендикулярной к плоскости проекций, на которой строится прямоугольный треугольник.

Строим прямоугольный треугольник, одним катетом которого будет проекция отрезка, а вторым катетом - разность координат. Длина гипотенузы будет равна натуральной величине отрезка (правило прямоугольного треугольника).

Угол, противолежащий катету, равному разности координат, будет углом наклона к соответствующей плоскости проекций: а - угол наклона к горизонтальной плоскости проекций; Р - к фронтальной плоскости проекций; у - к профильной плоскости проекций.

При построении прямоугольного треугольника для определения угла наклона к плоскости П3 необходимо построить профильную проекцию отрезка (см. пример 6).

Отметим, что данная задача определяет длину отрезков и углы наклона их к плоскостям проекций. В начертательной геометрии задачи подобного рода называются метрическими.

Задачи, связанные с определением положения геометрических объектов друг относительно друга, называют позиционными.

Пример 9

Задание: на прямой т определить точку С, удаленную от точки А на 30 мм (рис. 5.12, а).

Рис. 5.12

Решение. Зададим на прямой т произвольную промежуточную точку В, получим отрезок [АВ], (рис. 5.12, б) и определим на комплексном чертеже его натуральную величину, на которой отложим 30 мм (натуральную величину [АС]). Опустив перпендикуляр из полученной отметки на проекцию отрезка, определим фронтальную проекцию точки С, а по линиям связи - горизонтальную проекцию.

Пример 10

Задание: построить нисходящий отрезок длиной 30 мм и определить его угол наклона к фронтальной плоскости проекций (рис. 5.13).

Решение. Для построения отрезка общего положения воспользуемся правилом прямоугольного треугольника. Угол наклона к фронтальной плоскости проекций будет у треугольника, построенного на этой же плоскости проекций. Поэтому построим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 30 мм (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Один катет - фронтальная проекция отрезка ЛВ, другой - разность координат вдоль оси у - YA— YB |. Измеряем ее и откладываем на профильной проекции по линиям связи, отмечаем положение проекции точки А (так как она будет самая левая, а значит, на профильной проекции дальняя по отношению к наблюдателю). Точка А выше и дальше точки В - восходящий отрезок.

Авторы: Борисенко И.Г., Дергач В.В., Толстихин А.К.