Равносторонний треугольник на клетчатой бумаге

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус вписанной в него окружности.

Решение:

Поскольку формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности содержит иррациональность:

использовать её на экзамене, где требуется точный ответ, а не его приближённое значение, нет смысла. Да и длина стороны треугольника задана в таких заданиях не целым числом.

Зато высота треугольника — целое число. По свойству равностороннего треугольника его высота равна сумме радиусов вписанной и описанной окружности:

причем

Итак, чтобы найти радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, нужно посчитать по клеткам длину высоты и найти от неё треть.

В данной задаче длина высоты равна 9 клеткам (h=9), следовательно,

Ответ: 3.

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус описанной около него окружности.

Решение:

Находим по клеткам высоту данного треугольника:

h=12.

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности составляет две третьих его высоты:

Ответ: 8.