10. Найдите диагональ: а) куба, учитывая, что диагональ его боковой грани равна 6√2 см; б) прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

10. Найдите диагональ: а) куба, учитывая, что диагональ его боковой грани равна 6√2 см; б) прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

10. Найдите диагональ: а) куба, учитывая, что диагональ его боковой грани равна 6√2 см; б) прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

Решение:

а) Рассмотрим рисунок. По условию задачи A1D=62 см.{{A}_{1}}D=6\sqrt{2}\,\text{см}. A1​D=62​см. Учитывая, что квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений, получаем:

A1C2=a2+a2+a2=32,A1C=3a.{{A}_{1}}{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3^{2},{{A}_{1}C}=\sqrt{3}a.A1​C2=a2+a2+a2=32,A1​C=3​a.

Поскольку боковая грань куба — квадрат, то диагональ боковой грани:

A1D=a2+a2=2a;{{A}_{1}}D=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{2}a;A1​D=a2+a2​=2​a;

62=2a;6\sqrt{2}=\sqrt{2}a;62​=2​a;

a=6 см.a=6\,см.a=6см.

Тогда A1C=63 см.{{A}_{1}C}=6\sqrt{3}\,см.A1​C=63​см.

Ответ: A1C=63 см.{{A}_{1}C}=6\sqrt{3}\,см.A1​C=63​см.

б) Рассмотрим рисунок. По условию задачи A1D=11 см,DC1=19 см,AC1=20 см.A_1D=11\,см, DC_1=19\,см,AC_1=20\,см.A1​D=11см,DC1​=19см,AC1​=20см. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: AD=a,DC=b,AA1=c.AD=a,DC=b,AA_1=c.AD=a,DC=b,AA1​=c.

Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то квадраты их диагонали вычисляются по формулам:

A1D2=a2+c2;A_1D^2=a^2+c^2;A1​D2=a2+c2;

A1C12=a2+b2;A_1C_1^2=a^2+b^2;A1​C12​=a2+b2;

DC12=b2+c2.DC_1^2=b^2+c^2.DC12​=b2+c2.

После сложения этих уравнений, получаем:

A1D2+A1C12+DC12=a2+c2+a2+b2+c2;A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2=a^2+c^2+a^2+b^2+c^2;A1​D2+A1​C12​+DC12​=a2+c2+a2+b2+c2;

A1D2+A1C12+DC12=2(a2+b2+c2);A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2=2(a^2+b^2+c^2);A1​D2+A1​C12​+DC12​=2(a2+b2+c2);

a2+b2+c2=12(A1D2+A1C12+DC12).a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2).a2+b2+c2=21​(A1​D2+A1​C12​+DC12​).

Учитывая, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, получаем:

A1C2=a2+b2+c2=12(A1D2+A1C12+DC12);A_1C^2=a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2);A1​C2=a2+b2+c2=21​(A1​D2+A1​C12​+DC12​);

A1C=12(A1D2+A1C12+DC12);A_1C=\sqrt{\dfrac{1}{2}(A_1D^2+A_1C_1^2+DC_1^2)};A1​C=21​(A1​D2+A1​C12​+DC12​)​;

A1C=12⋅(112+192+202)=21 (см).A_1C=\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot (11^2+19^2+20^2)}=21\,(см).A1​C=21​⋅(112+192+202)​=21(см).

Ответ: A1C=21 см.A_1C=21\,см.A1​C=21см.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎