Спектральное представление типовых сигналов

Спектр гармонического сигнала

Спектр гармонического сигнала x(t) = Хт cos(co0/). Представив гармонический сигнал x(t) = Xmcos(w0/) (рис. 1.12, а), где со0 =

в комплексной форме x(t) = XmeJ(°ot, согласно преобразованию Фурье спектр 5(со) можно записать

Из полученного выражения следует, что спектр гармонического сигнала (рис. 1.12, б) представляет собой две симметрично расположенные линии на частотах -со0 и со0 высотой (амплитудой) Хт.

Рис. 1.12. Гармонический сигнал: а — графическая модель; б — спектр

Спектр дельта-функции (функции Дирака).

Запишем сигнал x(t) как единичный импульс, умноженный на постоянный коэффициент: x(t) = Xmb(t). Согласно интегралу Фурье (1.20) с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, находим

При Хт = 1 спектр дельта-функции постоянный (равномерный) на всей частотной оси 5(со) = 1 (рис. 1.13), т.е. содержит все частоты с одинаковой плотностью амплитуд.

Рис. 1.13. Дельта-функция: а — графическая модель; б — спектр

Взяв обратное преобразование, получим интегральное аналитическое выражение функции Дирака

Спектр функции включения

Спектр функции включения c(t) = 1(/- /и). Пусть x(t) = Xmo(t), тогда по преобразованию Фурье находим

Амплитудный спектр единичного скачка гиперболический (рис. 1.14)

Рис. 1.14. Функция включения: а — графическая модель; б — спектр

Значение спектра при со = 0 может быть получено предельным переходом. Вместе с тем из физических соображений ясно, что среднее значение функции Хевисайда (спектр на нулевой частоте) равно половине максимального значения, так что для циклической частоты

Спектр прямоугольного импульса.

Прямоугольный видеоимпульс является основой построения очень многих дискретных сигналов. Математическая модель прямоугольного импульса, расположенного симметрично относительно начала координат, с амплитудой — Хп

х

и продолжительностью ±— (рис. 1.15, а) запишется как

Рис. 1.15. Прямоугольный импульс: а — графическая модель; б — спектр

Спектральная плотность сигнала (рис. 1.15, б)

Таким образом, спектр импульса комплексный. Для четных сигналов он содержит только действительную часть. Спектр обращается х , 2 кк

в ноль в точках со- = кк, откуда со =-. Для циклической частоты

2 х

/с

/ = — в первом лепестке содержится 90% энергии сигнала, в двух х

лепестках — 95%. Считается, что для передачи сигнала практически без искажений необходимо обеспечить полосу пропускания

Af = —-. Значение спектральной плотности на нулевой частоте х

равно площади видеоимпульса 5(0) = Хтх. Чем уже импульс, т.е. чем меньше его протяженность х, тем шире расползается его спектральная плотность вдоль оси частот, тем больше вес высокочастотных составляющих в формировании такого импульса.

Спектр треугольного сигнала.

Аналитическое описание сигнала треугольной формы и его спектр, вычисленный по общему правилу преобразования Фурье, имеет вид (рис. 1.16)

4?тг

Нули спектра имеют место в точках со =-

т

Рис. 1.16. Треугольный импульс: а — графическая модель; б — спектр

Спектр колоколообразного импульса.

Аналитическое описание гауссовского сигнала имеет вид x(t) = Хте~^ 1 (рис. 1.17). Известно, что Фурье-преобразование гауссовского сигнала приводит также к гауссовской функции. Следовательно, спектр такого сигнала:

Спектр экспоненциального затухающего импульса.

Аналитическое описание экспоненциального затухающего сигнала имеет вид

Рис. 1.17. Колоколообразный импульс: а — графическая модель; б — спектр

x(t) = Хте~ш (рис. 1.18), где а — величина, обратная постоянной времени экспоненты. Применяя преобразование Фурье, находим спектр сигнала:

Рис. 1.18. Дельта функция: а — графическая модель; б — спектр

Авторы: Нефедов С.В., Тарасенко А.П., Чернова В.М.