Метод контурных токов

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только по второму закону Кирхгофа. Таких уравнений получается п = Ь - (у - 1),т.е. на у - 1 меньше, чем при расчете электрической цепи методом уравнений Кирхгофа. В этом заключается преимущество метода контурных токов.

Например, для схемы, приведенной на рис. 2.21, система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет следующий вид:

Исключим из этой системы уравнений ток /3 = /] — /2- Он проходит в ветви, которая входит одновременно в два контура. Подставив это значение силы тока /3 в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, получим:

Рис. 2.21

Система уравнений (2.12) дает основание считать, что в каждом независимом контуре существует контурный ток, который независимо от других токов создает падение напряжения на тех сопротивлениях электрической цепи, по которым он проходит. Контурные токи обозначают буквой / с римскими цифрами в индексе: /?, /ц, /щ и т.д.

Направления контурных токов, каждое из которых при решении задачи выбирают произвольно (по ходу часовой стрелки или против), показывают стрелками внутри контуров, как это сделано на рис. 2.21. Эти токи по абсолютному значению равны токам /] и /2 в ветвях, по которым проходит только один из контурных токов, т.е. /| = /| и /ц = ?2-

При расчете электрических цепей рассматриваемым методом кроме контурных токов вводят еще ряд понятий: контурные ЭДС, собственные и взаимные сопротивления.

Контурной ЭДС называют алгебраическую сумму всех ЭДС контура. При этом обход контура производят по направлению контурного тока и ЭДС берут со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «-», если эти направления противоположны. Контурные ЭДС обозначают буквой ? с римскими цифрами в индексе, которые соответствуют номерам контуров ЭДС. В рассматриваемом примере контурные ЭДС ?| = ?1 и ?ц = -?2.

Собственным сопротивлением контура называют сумму всех сопротивлений, входящих в данный контур. При этом каждое сопротивление берется с положительным знаком. Собственные сопротивления контуров обозначаются буквой г с двойными индексами, соответствующими номеру контура. В рассмотренном примере собственные сопротивления контуров /'| ] = Г + /3, г22 = г2 + г3.

Взаимным (или смежным) сопротивлением контуров называют сопротивление, входящее одновременно в два разных контура. Его обозначают буквой г с двумя индексами, первый из которых соответствует номеру рассматриваемого контура, а второй - номеру контура, имеющего общее (смежное) сопротивление с рассматриваемым контуром.

Взаимные сопротивления берут со знаком «+», если контурные токи, проходящие по этим сопротивлениям, имеют одинаковое направление, и со знаком «-», если направления контурных токов противоположны. В рассмотренном примере взаимное сопротивление первого и второго контуров /'|2 = —/*3, а г21 = —г3. Отсюда видно, что /-|2 = = г21, т.е. взаимные сопротивления, отличающиеся одно от другого порядком индексов, равны между собой. Это справедливо только для электрических цепей, не содержащих зависимых источников ЭДС или тока.

С учетом введенных понятий систему уравнений (2.12) для рассматриваемого примера можно записать в виде

Решив систему уравнений (2.13), определим контурные токи /], /ц. Если некоторые из контурных токов получаются отрицательными, то их действительные направления - обратные. Зная контурные токи, можно определить токи в ветвях. Если в ветви проходит только один контурный ток, то истинный ток в ветви будет равен контурному току по значению и одинаково направлен. Токи в ветвях, по которым проходит несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме.

В рассмотренном примере токи в ветвях равны: 1 = 1, /2 = /ц, /3 = /| — /ц. Если ток имеет знак «-», то действительное его направление в ветви противоположно произвольно выбранному.

Если по условию задачи часть источников электрической энергии будет задана в виде источников тока, то эти источники можно заменить эквивалентными источниками ЭДС или же рассчитать электрическую цепь с заданными источниками тока.

В общем случае для электрической цепи, содержащей N независимых контуров, система контурных уравнений имеет следующий вид:

где гкк - собственное сопротивление А-то контура; цк - взаимное сопротивление у'-го и к-го контуров (у = 1;я; А = 1 п) Ек — контурная ЭДС А-го контура.

Решая систему уравнений (2.14) с помощью определителей, находим ток в любом к-м контуре:

где определитель системы

Этот определитель для пассивных электрических цепей, не содержащих зависимых источников электрической энергии, симметричен относительно его главной диагонали, так как для таких электрических цепей любые взаимные сопротивления равны между собой.

Определитель Ак получается из определителя Д путем замены элементов А-го столбца свободными членами:

Разложив в выражении (2.15) определитель Ак по элементам А-го столбца, получим:

где Ajk - алгебраическое дополнение определителя системы, которое получаем путем вычеркивания в нем у'-й строки и А-го столбца и умножения результата на (-1)7'Л Если в А-м контуре электрической цепи действует лишь ЭДС Ек, то в А-м

контуре ток (например, ток в первом контуре

)•

Таким образом, при расчете электрических цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться нижеследующего порядка.

• 1. Определить число независимых контуров электрической цепи и произвольно задаться направлением контурных токов в них.
• 2. Вычислить собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
• 3. Составить систему уравнений для контурных токов в соответствии со вторым законом Кирхгофа.
• 4. Решить полученную систему уравнений одним из известных методов, например с помощью определителей, т.е. найти контурные токи.
• 5. Определить токи в ветвях.

Выше предполагалось, что источники энергии заданы в виде источников ЭДС. Если же по условию задачи часть источников энергии будет задана в виде источников тока, то перед началом расчета их целесообразно преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Пример 2.5. В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.21, Е = 6 В, Е2 = 3 В, Г) =г2 = /3 = 1 Ом. Требуется определить силу токов в ветвях.

Решение. В схеме цепи два независимых контура. Произвольно обозначим на схеме положительные направления контурных токов /| и /и стрелками. Собственные сопротивления контуров Г = Г + Гз = 1 + 1 = 2 Ом, /"22 = г2 + Гз = I + 1 = 2 Ом. Взаимные сопротивления гп =г21 = —/*3 = — 1 Ом. Контурные ЭДС Е = = Е =6 В, ?)| = — Е2 = —3 В. Подставив найденные значения в систему контурных уравнений (2.13), получим:

Из первого уравнения системы /ц = 21 — 6. Подставив 1ц во второе уравнение, получим —/] + 4 1 — 12 = —3, откуда 1 = 3 А, тогда

Сила токов в ветвях:

Как уже указывалось, при расчете цепей методом контурных токов целесообразно предварительно преобразовать источники тока в источники ЭДС.

Некоторые трудности вызывает преобразование идеализированного источника тока в идеализированный источник ЭДС. В этом случае принимаются во внимание особенности идеализированного источника тока, заключающиеся в том, что он имеет внутреннюю проводимость, равную нулю (внутреннее его сопротивление равно бесконечности), постоянное значение тока, а разность потенциалов на зажимах источника тока может иметь любое значение (оно подлежит определению в качестве ЭДС преобразованного источника).

Пусть в цепи имеется идеализированный источник тока У и требуется найти токи в ветвях цепи методом контурных токов. Преобразовав источник тока в источник ЭДС, получим значение внутреннего сопротивления, равное нулю; ток в ветви с источником ЭДС будет равен У, значение ЭДС Е неизвестно. Таким образом, количество неизвестных увеличится на единицу, но одновременно увеличится на единицу число уравнений, так как ток в ветви с источником ЭДС будет равен либо контурному току, либо алгебраической сумме контурных токов.

Пример 2.6. Определить токи в ветвях электрической цепи, изображенной на рис. 2.22, методом контурных токов, если Е = 50 В, Е2 = 75 В, У = 2 А, г, = 30 Ом, г2 = 50 Ом.

Решение. Преобразуем источник тока в источник ЭДС (рис. 2.23). Электрическая цепь содержит два независимых контура. Произвольно обозначим на схеме положительные направления контурных токов /] и /к стрелками. Составим систему уравнений контурных токов:

где

Рис. 2.22 Рис. 2.23

Контурные ЭДС содержат неизвестную ЭДС Е:

но, введя дополнительное уравнение придем к

следующей системе уравнений:

Решив систему уравнений (2.17), получим /( = 0,31 А, /ц = 2,31 А. Зная контурные токи, найдем токи в ветвях: /; = /( = 0,31 А; /2 = /ц = = 2,31 А; I = J = 2 А.

Решая этот же пример без преобразования источника тока в источник ЭДС, независимые контуры и обход по ним выберем так, как показано стрелками на рис. 2.22. Тогда уравнение, связывающее контурные токи (! и /ц) и ЭДС, имеет вид

где /ц = J. Из этого уравнения находим:

Система контурных уравнений (2.14) может быть записана в матричной форме:

где [/-] - квадратная матрица сопротивлений электрической цепи порядка п; [/] - матрица-столбец искомых контурных токов; [?] - матрица-столбец контурных ЭДС, причем

Для того чтобы решить матричное уравнение (2.18), обе его части умножают слева на обратную матрицу [г]-1:

Так как

Применять матричный метод при решении несложных задач не всегда целесообразно. Однако при решении сложных задач матричный метод имеет преимущества: матричная форма записи более компактна и позволяет использовать при решении системы уравнений вычислительные машины.

Достоинством метода контурных токов по сравнению с методом уравнений Кирхгофа является меньшее число уравнений и возможность формализации решения, что позволяет рассчитывать сложные электрические цепи с применением вычислительных машин.