Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

• Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
• Вычисление объемов тел вращения

Интегрирование по х в декартовой системе координат (СК) ь

S = Jydx, у= f (х); (11)

а

b

S=f f2(x)-f1(x) dx. (12)

Интегрирование по у в декартовой

системе координат

d

S = J x-dy,

с

х = <р(у).

(13)

Для параметрически заданных функ

ций в декартовой СК х= x(t), y=y(t),

*(/?) fi

S= J ydx = jy(t)-x'(t)dt.

x(a

В полярной системе координат

r2(

• (14)
• (15)

Для определения площадей фигур, ограниченных сверху и снизу заданными кривыми у/х), у2(х), прежде чем применять соответствующую формулу для нахождения площади нужно определить пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения кривых у(х) иу2(х). Они находятся как решения уравнения: у,(х) = у2(х). Корни этого уравнения х^х,, причем Xj < х7 являются пределами интегрирования.

Пример 1. Вычислить сегмент площади фигуры, ограниченной графиками функций у = (х-2)3, у = 4х-8.

Найдем точки пересечения графиков функций: (х-2)3 =4х-8, (х-2)3 =4(х-2); (х-2)((х-2)2-4) = 0;

Тогда первый сегмент площади отыщется следующим образом (12)

• 2 2
• S = 2 J (4х — 8 — (х — 2)3)dx = 2j (4х — 8 — х3 + 6х2 — 12х + 8)dx = о о
• 2 1

J (6х2 — х3 — 8x)dx = 2(2х3 — х4 — 4х2) о

2 1

= 4-23---24-8-22 =8.

о 2

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acost, y=bsint (см. рисунок 5).

Найдем сначала четвертую часть площади S. Здесь х изменяется от 0 до а,

л

следовательно, t изменяется от — до 0.

2

По формуле (14) получим

Таким образом, — S =----. Значит, площадь всего эллипса S = лаЬ.

4 4

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» г = acos3^> (см. рисунок 6).

Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. шестую часть всей площади фигуры:

Задания для решения в аудитории:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

• 1. у = 4 - х2; у2 = х2 - 2х.
• 2. х = arccosy, х = 0, у = 0.

3. У = -х2, у = ех, х = 1, х = 0.

При вращении плоской кривой вокруг одной из координатных прямых получается объемная фигура - тело вращения.

Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения, есть круг, например, с радиусом у = f (х), при вращении вокруг оси ОХ. Его площадь S(x) = Try2.

Тогда объем тела по площади параллельных сечений, равен:

Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

Х2 Г

ченн»»™н„,„и у = у. х = 0, y = 2V2 вокруг осн ОН»-рис-8).

По формуле (17) находим:

2л/2

Vy = л J 2ydy = яу2 о = 8я.

О

Если фигура, ограничена кривыми = f/x) и у2 = /2(х); О 2(х) и прямыми х = а, х = Ь, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения:

b

Vx=;rf(y22-y|2)dx- (18)

a

Если фигура ограничена кривыми = ^(у) г/ х2 =

(0<^(у)<^2(у)) и прямыми У-с; y = d вращается вокруг оси OY, то объём тела вращения: d

Vy = л-рх^-Xj2)dy. (19)

с

Пример 2. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций у = 2х - х2; у = -х + 2, вокруг Ох.

По формуле (18) получим

2

Vx = ^j|^(2x- х2)2 -(2- x)2Jdx = i

2 _

-4х3)-(2-х)2 dx =

f4 32-1 ... .. (0-1) A 7

я -(8-1) +--(16-1) + ----- = -7Г—,

u 5 3 J 15

Задания для решения в аудитории:

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

1. у = -х2+5х-6, у = 0. (ось вращения Ох)

• 2. у = х2, у2 - х = 0. ( ось вращения Ох)
• 3. у = 1пх, х = 2, у = 0 (ось вращения Оу)
• 4. У — х > У — х (ось вращения Оу)