14. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания,

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть SABCDEFSABCDEFSABCDEF — правильная шестиугольная пирамида, сторона основания AB=10AB=10AB=10 см, OOO — центр основания, значит OOO — центр описанной и вписанной окружности правильного шестиугольника, SO=69SO=\sqrt{69}SO=69​ см, SO⊥OK:SO⊥OA,SO\perp OK: SO\perp OA,SO⊥OK:SO⊥OA, сторона основания AB=10AB=10AB=10 см. Найдём:

а) боковое ребро SASASA и апофему SK.SK.SK.

Т.к. треугольник AOBAOBAOB правильный, то OA=10OA=10OA=10 см, OK=1032=53OK=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}OK=2103​​=53​ см, по теореме Пифагора SA=SO2+OA2=69+100=13SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{69+100}=13SA=SO2+OA2​=69+100​=13 см; апофема SK=AO2+OK2=69+75=144=12SK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{69+75}=\sqrt{144}=12SK=AO2+OK2​=69+75​=144​=12 см.

Б) Боковую поверхность пирамиды находим по формуле Sбок=6⋅SASB;S_{бок}=6\cdot S_{ASB};Sбок​=6⋅SASB​;

SASB=12⋅10⋅12=60S_{ASB}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60SASB​=21​⋅10⋅12=60 см2^22;

Sбок=6⋅60=360S_{бок}=6 \cdot 60=360Sбок​=6⋅60=360 см2.^2.2.

В) Полную поверхность пирамиды по формуле Sполн=Sбок+Sосн;S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};Sполн​=Sбок​+Sосн​;

Sосн=3a232=3⋅10032=1503S_{осн}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot 100\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}Sосн​=23a23​​=23⋅1003​​=1503​ см2;^2;2;

Sполн=360+1503=30(12+53)S_{полн}=360+150\sqrt{3}=30(12+5\sqrt{3})Sполн​=360+1503​=30(12+53​) см2.^2.2.

Ответ: а) 131313 см; 121212 см; б) 360360360 см2^22; в) 30(12+53)30(12+5\sqrt{3})30(12+53​) см2.^2.2.