Площадь треугольника по координатам вершин

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

1способ:

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

2 способ:

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Утверждение

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) можно вычислить с помощью формулы

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC,

A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

Что и требовалось доказать.

3 способ:

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

4 способ:

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

1 способ:

Находим длины сторон треугольника ABC.

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

2 способ:

Подставляем в формулу x1=-1, y1=-3, x2=3, y2=4, x3=5, y3=-5:

3 способ:

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

Находим координаты векторов:

Скалярное произведение

Длины AB и AC уже знаем:

Синус и косинус одного угла связаны соотношением:

Синус угла от 0° до 180° является положительным числом, поэтому

Отсюда

4 способ:

Найдём уравнение прямой AB. Подставляем координаты A и B в уравнение y=kx+b:

Отсюда k=7/4, b=-5/4

Найдём расстояние от точки C до прямой AB:

Это расстояние равно высоте треугольника, проведённой из вершины C к стороне AB. Отсюда