Принцип и метод наложения

В некоторых случаях расчет электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения. Этот принцип применяется только к линейным электрическим цепям.

Рассмотрим в качестве примера схему на рисунке 4.20, а. Укажем произвольно направления токов в ветвях и составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

Рис. 4.20. Схемы электрических цепей для иллюстрации метода наложения

Решение системы (4.35) дает следующие выражения для токов:

т г г

Ц = Е . ~Ег,’ А А

•I^eJ^-E^-, (4.36)

А А

где А - R}R2 + R}R3 +

Как и следовало ожидать, значения токов определяются действием ЭДС, имеющихся в схеме, т. е. каждая ЭДС вносит в ток каждой ветви свою определенную долю.

Уравнения (4.36) выражают принцип наложения. Он заключается в том, что ток в любой ветви сложной линейной цепи с несколькими ЭДС равен алгебраической сумме токов, вызванных в этой ветви каждой ЭДС в отдельности.

Принцип наложения используется в методе расчета, получившем название метода наложения.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи от каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы. Находят токи в ветвях алгебраическим сложением частичных токов.

Схематично процесс приведен на рисунке 4.20, где исходная схема представлена двумя схемами по принципу наложения.

Расчет сложной электрической цепи в данном случае сводится к расчету двух более простых цепей. В цепях с одним источником ЭДС токи в ветвях направляют по направлению ЭДС.

Цепи, представленные на рисунке 4.20, б, в, имеют смешанное соединение резисторов и рассчитываются методом «свертывания» цепи.

Токи в исходной схеме определяют алгебраическим сложением частичных токов. В рассматриваемом примере

I =Г-Г- / =-р +/"? / =г+г

Частичный ток считают положительным, если он направлен одинаково с током в той же ветви исходной схемы. Частичный ток противоположного направления считают отрицательным.

При таком подходе токи в ветвях исходной схемы могут получиться положительными или отрицательными. В последнем случае направление тока в ветви противоположно указанному на исходной схеме электрической цепи. Как правило, изменять направление тока в схеме электрической цепи не нужно.

Пример 4.7. В электрической цепи (рис. 4.21) определить токи, используя принцип наложения, если Е = 120 В, Е2 = 250 В, R] = 18 Ом, R2 = 20 Ом, /?з = 30 Ом.

Решение. На схеме цепи (рис. 4.21) произвольно указываем положительные направления токов в ветвях. Пользуясь принципом наложения, определяем токи в ветвях как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых поочередно действующими ЭДС. Примем ?2 = 0 и определим частичные токи от Е (рис. 4.22), применяя метод эквивалентных пре-

образований:

г=_?_

1 л,'„ ’

, R-, R.

где Яв = У?, + —

экв 1 R2 + R3

= 18+ 20'30 =30 Ом.

20 + 30

Токи Д и определяем по закону Ома: где

U'ab

4'=—, Л= —, /?2 я3

^=^23=4-12 = 48 В.

, 48 , 48

I, = — — 2,4 A, L = — - 1,6 А.

2 20 3 30

Примем Е = 0 и определим частичные токи от Е2 (рис. 4.23).

По закону Ома ток

г п _ ^2

2 г>"

Лэкв

где

1 8 30

= 20+ =31,25 Ом.

18 + 30

/" = 2^2_ = 8 а.

2 31,25

Токи и /" определим по закону Ома:

U" U" т»_ tih J" ^ gb ’ V 3 V

где

^;=/;л=8-іі,25=9ов.

Тогда Г = — А и Г = — = 3 А. 1 18 3 30

С учетом произвольно указанных ранее положительных направлений токов в ветвях на схеме цепи (см. рис. 4.21) определяем их как алгебраическую сумму частичных токов:

ц = /|' + /,"=4 + 5=9А;

/2 = Д+/" = 2,4 + 8 = 10,4 А;

13 =/;-/; = 1,6-3 = -1,4 а.

Знак «-» третьего тока говорит о противоположном его направлении по отношению к выбранному.