Ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора

В случае многомерной случайной величины (случайного вектора) характеристикой разброса ее составляющих и связей между ними является ковариационная матрица.

Ковариационная матрица определяется как математическое ожидание произведения центрированного случайного вектора на тот же, но транспонированный вектор:

где

Ковариационная матрица имеет вид

где по диагонали стоят дисперсии координат случайного вектора on=DXi, o22=DX2, окк = DXk, а остальные элементы представляют собой ковариации между координатами

°12=M'xix2j а1* = M-jc,** > ••••

Ковариационная матрица является симметрической матрицей, т.е.

Для примера рассмотрим ковариационную матрицу двумерного вектора

Аналогично получается ковариационная матрица для любого /^-мерного вектора.

Дисперсии координат можно представить в виде

где Gi,C2,...,0? — средние квадратичные отклонения координат случайного вектора.

Коэффициентом корреляции называется, как известно, отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений:

После нормирования по последнему соотношению членов ковариационной матрицы получают корреляционную матрицу

которая является симметрической и неотрицательно определенной.

Многомерным аналогом дисперсии случайной величины является обобщенная дисперсия, под которой понимается величина определителя ковариационной матрицы

Другой общей характеристикой степени разброса многомерной случайной величины является след ковариационной матрицы

где <5[ 1, о22,..., Скк — диагональные элементы ковариационной матрицы.

Часто в многомерном статистическом анализе используется нормальное распределение.

Обобщением нормальной плотности вероятности на случай ^-мерного случайного вектора является функция

где ц = (pj, ц2, М^)т— вектор-столбец математических ожиданий;

|Х| — определитель ковариационной матрицы X;

?-1 — обратная ковариационная матрица.

Матрица X-1, обратная к матрице X размерности пх п, может быть получена различными способами. Одним из них является метод Жордана—Гаусса. В этом случае составляется матричное уравнение

где х — вектор-столбец переменных, число которых равно я; b — я-мерный вектор-столбец правых частей.

Умножим слева уравнение (6.21) на обратную матрицу ХГ1:

Так как произведение обратной матрицы на данную дает единичную матрицу Е, то

Если вместо b взять единичный вектор

то произведение X-1 -ех дает первый столбец обратной матрицы. Если же взять второй единичный вектор

то произведение Е 1 е2 дает первый столбец обратной матрицы и т.д. Таким образом, последовательно решая уравнения

методом Жордана—Гаусса, получаем все столбцы обратной матрицы.

Другой метод получения матрицы, обратной к матрице Е, связан с вычислением алгебраических дополнений AtJ.= (/= 1, 2,..., п; j = 1, 2, ..., п) к элементам данной матрицы Е, подстановкой их вместо элементов матрицы Е и транспортированием такой матрицы:

Обратная матрица получается после деления элементов В на определитель матрицы Е:

Важной особенностью получения обратной матрицы в данном случае является то, что ковариационная матрица Е является слабо обусловленной. Это приводит к тому, что при обращении таких матриц могут возникать достаточно серьезные ошибки. Все это требует обеспечения необходимой точности вычислительного процесса или использования специальных методов при вычислении таких матриц.

Пример. Написать выражение плотности вероятности для нормально распределенной двумерной случайной величины {Xv Х2)

при условии, что математические ожидания, дисперсии и ковариации этих величин имеют следующие значения:

Решение. Обратную ковариационную матрицу для матрицы (6.19) можно получить, используя следующее выражение обратной матрицы к матрице X:

где А — определитель матрицы X.

Аи, Л12, А21, А22 — алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы X.

Тогда для матрицы ]г-! получаем выражение

Так как а12 = 01О2Р и °2i=a2aiP> а ai2a2i = cyfст|р, то Значит,

Найдем произведение

Функция плотности вероятности запишется в виде

Подставив исходные данные, получим следующее выражение для функции плотности вероятности

Авторы: Сагитов Р.В., Швед Е.В., Бирюкова Л.Г., Бобрик Г.И., Матвеев В.И.