Формула Торричелли

Из закона Бернулли следует важная для гидродинамики практическая формула (полученная в 1641 г., задолго до открытия рассматриваемого закона) — формула Торричелли для скорости истечения струи несжимаемой жидкости из малого отверстия.

Рис. 3.11. К выводу формулы Торричелли

Рассмотрим заполненный несжимаемой жидкостью сосуд, произвольных размеров и формы (например, коническое ведро, как на рис. 3.11), имеющий отверстие внизу, через которое вытекает жидкость[1].

Так как сосуд открыт сверху и снизу, то давления рх и р2 на поверхности жидкости и на выходе из нижнего отверстия одинаковы и равны атмосферному pmi. С учетом этого применим уравнение Бернулли (3.28) и уравнение неразрывности (3.17) к сечению 3) — открытая сверху поверхность жидкости и52- сливное отверстие и получим

и

Принимая во внимание, что S2 « 3) и, значит, oi « v2, получим

Это и есть формула Торричелли.

В завершение специально подчеркнем, что уравнение Бернулли получено для идеального потока. Если в потоке существует трение, то уравнение Бернулли дает тем большую погрешность, чем выше его скорость. Для покоящегося газа или жидкости уравнение Бернулли справедливо и для «неидеального» случая (например, вязкая среда).

Из-за сложности учета всех факторов (вязкость, сжимаемость, турбулентность и др.) в реальных жидкостных и газовых системах движение описывают эмпирическими зависимостями, получаемыми на моделях. Эти зависимости включают экспериментально определенные параметры — с одним из них — числом Рейнольдса, мы уже познакомились.

Особенности поведения вязкой несжимаемой жидкости и движения тел в ней мы рассмотрим в главе «Молекулярная физика» (см. подразделы 4.7.7 и 4.7.10).

• [1] Единственное ограничение, накладываемое на форму сосуда, состоит в том, что открытая сверху поверхность S', вытекающей жидкости (площадь сосуда в любом сечении)должна быть много больше площади S2 сечения сливного отверстия, т.е. рассматривается истечение через малое отверстие.