Техника дифференцирования

Нахождение производной функции непосредственно по определению было бы трудоемким делом. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул. Установим правила, которые позволят значительно облегчить нашу задачу. Начнем с того, что выпишем таблицу производных основных элементарных функций (табл. 10.1).

Формулы дифференцирования. Каждая из приведенных в табл. 10.1 формул может быть получена из основного определения производной с применением формул, известных из курса элементарной алгебры, и с учетом рассмотренных ранее пределов.

Представленные в таблице формулы позволяют продифференцировать основные элементарные функции. Для полноценного применения аппарата дифференциального исчисления необходимо уметь дифференцировать произвольные элементарные функции, получаемые из основных функций, как с помощью алгебраических операций, так и посредством суперпозиций элементарных функций, приводящих к сложным функциям (функциям от функций).

Правила дифференцирования. Пусть и = и(х), v = v(x) — дифференцируемые функции, с — константа. Тогда:

• 1) (си)’ = с(и)' (постоянный множитель выносится за знак производной);
• 2) (и ± v)' = и' + v' (производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных);
• 3) (uv)' = u'v + uv'

Таблица 10.1

Таблица производных

Распишем подробно: Имеем

ние сложной функции).

Найдем производную F'(x)

Примеры

2. Для функции у = siir.r

После решения достаточного количества примеров на дифференцирование функции можно без особых усилий находить производные самых разнообразных функций.

Производная и дифференциал второго порядка. Поскольку производная у = fx) также является функцией, то можно поставить задачу ее дифференцирования.

Определение 10.23. Функция, которая получается в результате дифференцирования производной данной функции, называется производной второго порядка данной функции (или просто второй производной); она обозначается f"(x) или у".

Другими словами, производная второго порядка получается двукратным (или повторным) дифференцированием функции.

Примеры

Найти производные второго порядка следующих функций.

Физический смысл производной второго порядка состоит в том, что она определяет скорость изменения скорости какого-либо процесса, т.е. определяет ускорение.

Аналогично определяется дифференциал второго порядка — это дифференциал от дифференциала первого порядка. Полагая, что в формуле дифференциала dy = f'(x)Ax приращение Ах постоянно, находим формулу для дифференциала второго порядка d2y

Авторы: Беляева Татьяна, Важнов Сергей, Вешняков Виниамин, Кудинов Александр, Мартынова Татьяна, Одинцов Сергей